Fourier-Analyse und -synthese

Der französische Physiker und Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier hat in den 1820er Jahren festgestellt, dass bei der Überlagerung von Sinus-Wellen, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz beträgt, interessante neue Wellenformen enstehen. Die Überlagerung nennt man Fourier-Synthese.

Ziel: Grundideen der Fourieranalyse und -synthese kennenlernen

1 Fourier-Synthese - Zusammensetzen einer Kurvenform

Anstelle von Frequenzen f arbeitet man mit der Winkelgeschwindigkeiten ω, was kein großes Hindernis darstellt, da ω ~ f gilt. Und zusätzlich zum Sinus kommt der Cosinus hinzu.

Ob und in welchem Maße ein Wellenzug an der Synthese teilnimmt, wird über die Wahl der Amplituden , die Werte zwischen -1 und 1 annehmen, geregelt.

Zur Fouriersythese gibt es zahlreiche Applets:

• Empfehlung: Geogebra-Applet hier auf dem Server

Alternativ:

• xls-Dokument.
• Uni Paderborn
• Gymn. Melk

Aufgabe: Probieren Sie es aus: Bekommen Sie eine rechteckige Signal hin? (Es ist schwieriger als es aussieht)

Fall nicht: Die Fourier-Analyse hilft, ein Signal in seinen Bestandteile zu zerlegen.

1 Fourier-Synthese - Zusammensetzen einer Kurvenform

Das Ziel der Fourier-Analyse ist die Rückgängigmachung der Synthese - oder allgemeiner: Die Darstellung eines beliebigen periodischen(!) Signals mit Hilfe des oben erwähnt Sinus- und Cosinus-Funktionen.

(Das ist übrigens die sogenannte Fourier-Reihe)

Aufgabe/Ziel: Wir nehmen ein Rechtecksignal und ermitteln die zugehörigen Amplituden-Werte .

1) Vorüberlegung - Beachten Sie die Fläche unter dem Graphen

Aufgaben und Applet dazu.

 

 

 

2) Folgerung 1

Es ist zu erkennen, dass die Fläche unter dem Graphen - auch bekannt als das Integral der Funktion - in der Regel Null ist. Ausnahme: die beiden miteinander multiplizierten Sinusfunktionen sind identisch.

 

 

 

3) Folgerung 2

In der Vorüberlegung wurde das Integral über sin * sin gebildet, genauer

Die Idee ist nun: Man bildet das Integral über das Produkt der zu analysierenen Funktion f(x) und sin:

Der Wert des Integrals gibt dann an, wie sehr zu f passt: 0 = gar nicht, 0,5 = voll. Natürlich gibt's auch Werte dazwischen.

Entsprechend müssen die Amplituden gewählt werden. Ist das Integral = 0, so ist auch die Amplitude = 0. Beträgt der Wert des Integrals 0,5, so ist die Amplitude maximal zu wählen (hier =1).

4) Zum Testen (mit Excel)

Aufgabe: Ermitteln Sie die Amplituden des Rechtecksignals und sythetisieren Sie sie selbst

- Übung Rechteck

Aufgabe: Verfahren Sie bei den weiteren Signalen ebenso
- Übung Dreieck
- Übung Phantasie