Fixpunktproblem - Wichtelproblem - Probeme sur la Jeu du Treize

Dreizehn Zahlen werden zufällig verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl mit ihrem Platz 1-13 übereinstimmt? Diese Frage wird in der historischen Analyse des Treize-Spiels beantwortet. Heute kennt man die Frage als Wichtelproblem: 30 Schüler/innen geben ihr Wichtelgeschenk in einen Korb und jede/r zieht eines wieder heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jmd sein eigenes Geschenk erhält?

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Historisch

Das Spiel / die Frage (Übersetzung)

Pierre hält eine Anzahl von Karten, die alle verschieden sind und eine beliebige Reihenfolge haben. Er spielt gegen Paul und wettet, dass wenn er sie zieht & und sie dabei in der üblichen Reihenfolge benennt - beginnend mit der höchsten oder niedrigsten - so geschieht es mindestens einmal, dass er die Karte zieht, die gerade aufgerufen hat. Pierre hat zum Beispiel 4 Karten, das Ass, eine zwei, eine drei und eine vier in beliebiger Reihenfolge und wettet, dass wenn er beim Ziehen der ersten Karte eins sagt, beim Ziehen der zweiten zwei und beim Ziehen der dritten drei, so gescheiht es entweder, dass er im ersten Zug das Ass erhält oder im zweiten Zug die zwei oder im dritten Zug die drei oder im vierten Zug die vier. Das Gleiche gilt für jede andere Anzahl an Karten. Wir fragen nun, wie groß der Erwartungswert für Pierre bei einer Kartenanzahl von zwei bis 13 Karten ist.

Quellen:

Pierre R. de Montmort 1708: Probleme Divers sur la Jeu du Treize. In: Essay d'analyse sur les jeux de hazard. 1. Auflage, Paris, 1708, S. 54-. Online auf google books.

Pierre R. de Montmort 1713: Probleme Divers sur la Jeu du Treize. In: Essay d'analyse sur les jeux de hazard. 2. Auflage, Paris, 1713, S. 130-143. Online auf bnf.

Übersetzung (englisch): http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/treize/treize.pdf