Baustelle

Für die Standardabweichung oder Streuung gilt \[\sigma_x =\sqrt{Varianz(x)} \]

Für die Varianz gilt: \[Varianz(x)= EW\left(\left(x-EW(x)\right)^2\right) = ... = EW(x^2) -\left(EW(x)\right)^2 \]

Daraus folgt:

\[\sigma_x= \sqrt{EW(x^2) -\left(EW(x)\right)^2 } \]

...

\[ \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{x}{L} n \pi \right) \]

Erwartungswert bei diskreter Verteilung: \(W(x_i)\)gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(x_i\) an.

\[ EW(x) = \sum\limits_{i=1}^n x_i \,\cdot\, W(x_i) \]

Beim Potentialtopf liegt eine kontinuierliche Verteilung der Orte \(x\) vor. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Objekt im Bereich \(x\) bis \(x+dx\) wird angegeben durch \( |\psi(x)|^2 \,dx\) . ( \(|\psi(x)|^2 \) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.)

Für n = 1 folgt:

\[ EW(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty x \,\cdot\, |\psi(x)|^2 \,dx \\ = \int\limits_{0}^L x \,\cdot\, |\psi(x)|^2 \,dx \\ = \int\limits_{0}^L x \,\cdot\, \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{x}{L}\pi \right) \,dx \\ = \frac{2}{L} \int\limits_{0}^L x \,\cdot\,\sin^2\left(\frac{x}{L}\pi \right) \,dx\]

Die Stammfunktion wird mit Hilfe von Wolfram Alpha ermittelt:

\[ \frac{EW(x)}{\frac{2}{L}} =\left. \frac{\sin^2 \left( \frac{x}{L} \pi \right)-\cos^2 \left( \frac{x}{L} \pi \right)}{8 \frac{\pi^2}{L^2}} - \frac{x \sin \left( \frac{x}{L} \pi \right) \cos \left( \frac{x}{L} \pi \right)}{2 \frac{\pi}{L}} +\frac{x^2}{4}\right|_0^L \\ = \frac{\sin^2 \left( \frac{L}{L} \pi \right)-\cos^2 \left( \frac{L}{L} \pi \right)}{8 \frac{\pi^2}{L^2}}-0+\frac{L^2}{4} - \left( \frac{\sin^2 \left(\frac{0}{L} \pi \right)-\cos^2 \left( \frac{0}{L} \pi \right)}{8 \frac{\pi^2}{L^2}}-0+0\right) \\ = - \frac{-(-1) L^2}{8 \pi^2}+\frac{L^2}{4}-\frac{-1 L^2}{8 \pi^2} = \frac{L^2}{4}\]

Damit folgt:

\[\Longleftrightarrow EW(x) = \frac{L^2}{4} \cdot \frac{2}{L}= \frac{1}{2}L \]

Für n = 2, 3, 4, ... ergibt sich der gleiche Erwartungswert (Wolfram Alpha):

\[EW_n(x) =\int_0^L x \cdot \frac{2}{L} \sin ^2\left(\frac{x}{L} n \pi \right) \, dx=-\frac{L \left(-2 \pi ^2 n^2+2 \pi n \sin (2 \pi n)+\cos (2 \pi n)-1\right)}{4
\pi ^2 n^2}\]

Der Sinus ist für alle n null, der Cosinus ergibt für alle n eins, sodass folgt:

\[EW_n(x) = \frac{1}{2}L \]

Für die Berechnung des zweiten Erwartungswertes wird komplett Wolfram Alpha überlassen:

\[ EW_{n=1}(x^2) = \int\limits_{0}^L x^2 \,\cdot\, |\psi(x)|^2 \,dx\\ = \int\limits_{0}^L x^2 \,\cdot\, \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{x}{L}\pi \right) \,dx \\ = \frac{1}{6}\left(2-\frac{3}{\pi^2}\right) L^2\]

Allgemein ergibt sich (Wolfram Alpha):

\[EW_n(x^2)=\int_0^L x^2 \cdot \frac{2}{L} \sin ^2\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \, dx\\=\frac{L^2 \left(4 \pi ^3 n^3+\left(3-6 \pi ^2 n^2\right) \sin (2 \pi n)-6
\pi n \cos (2 \pi n)\right)}{12 \pi ^3 n^3}\\ = \frac{1}{6} \left(2-\frac{3}{\pi^2 n^2}\right) L^2\]

Für die Standardabweichung beim unendlich hohen lin. Pot.topf folgt damit

\[\sigma_x=\sqrt{\frac{1}{6}\left(2-\frac{3}{\pi^2 n^2}\right) L^2-\frac{1}{4}L^2}\\ = \sqrt{\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2 n^2}\right) L^2}\\ =L \cdot \sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2 n^2}}\]

Für n = 1: \[\sigma_x \approx 0,18 \,L\]

Diesen Wert nennt man Unschärfe oder Unbestimmtheit des Ortes \(\Delta x\)